Kruskal算法
Kruskal算法
求解最小生成树的还有一种常见算法是Kruskal算法。它比更直观。从直观上看，Kruskal算法的做法是：每次都从剩余边中选取权值最小的，当然，这条边不能使已有的边产生回路。
手动求解会发现Kruskal算法异常简单，以下是一个样例
先对边的权值排个序：1(0,1) 2(2,6) 4(1,3) 6(1,2) 8(3,6) 10(5,6) 12(3,5) 15(4,5) 20(0,1)
首选边1(0,1)、2(2,6)、4(1,3)、6(1,2)，此时的图是这样
显然，若选取边8(3,6)会出现环，则必须抛弃8(3,6)，选择下一条10(5,6)没有问题。此时图变成这样
显然，12(3,5)相同不可取，选取15(4,5)，边数已达到要求，算法结束。终于的图是这种
算法逻辑人非常easy理解。但用代码推断当前边是否会引起环的出现。则非常棘手。
算法说明
为了推断环的出现，我们换个角度来理解Kruskal算法的做法：初始时，把图中的n个顶点看成是独立的n个连通分量，从树的角度看，也是n个根节点。我们选边的标准是这种：若边上的两个顶点从属于两个不同的连通分量。则此边可取，否则考察下一条权值最小的边。
于是问题又来了，怎样推断两个顶点是否属于同一个连通分量呢？这个能够參照并查集的做法解决。它的思路是：假设两个顶点的根节点是一样的，则显然是属于同一个连通分量。
这也相同暗示着：在增加新边时，要更新父节点。
详细细节看代码：
代码
#include#include using namespace std;#define MAXWEIGHT 100/*全局变量numV顶点数numE边数*/int numV, numE;//边typedef struct edge_tag{ int tail; int head; int weight;}Edge;//检測边bool checkEdge(int tail, int head, int weight){ if (tail == head || tail < 0 || tail >= numV || head < 0 || head >= numV || weight <= 0 || weight >= MAXWEIGHT) return false; return true;}//输入边void inputEdge(Edge *edge, int numE){ int i, tail, head, weight; cout << "输入边的起点、终点和权值" << endl; i = 0; while (i < numE) { cin >> tail >> head >> weight; while (!checkEdge(tail, head, weight)) { cout << "输入错误！又一次输入" << endl; cin >> tail >> head >> weight; } edge[i].tail = tail; edge[i].head = head; edge[i].weight = weight; i++; }}int cmp(const void *edge1, const void *edge2){ return ((Edge*)edge1)->weight - ((Edge*)edge2)->weight;}//并查集的常见操作/*压缩查找查找child的根节点*/int Find(int child, int *parent){ if (parent[child] == child) return child; parent[child] = Find(parent[child], parent); //压缩路径 return parent[child];}//合并bool Union(Edge *e, int *parent, int *childs){ //处于同一个棵树中。则不能合并。否则会出现环 int root1, root2; root1 = Find(e->tail, parent); root2 = Find(e->head, parent); if (root1 != root2) { //把小树合并到大树根下 if (childs[root1] > childs[root2]) { parent[root2] = root1; childs[root1] += childs[root2] + 1; } else { parent[root1] = root2; childs[root2] += childs[root2] + 1; } return true; } return false;}/*Kruskal算法求最小生成树*/void Kruskal(int numV, int numE){ //边的集合 Edge *edge = new Edge[numE]; inputEdge(edge, numE); /* parent[i]是顶点i的父顶点 childs[i]是顶点i的孩子数 child的复数是children，这里的childs是杜撰的 */ int *parent = new int[numV]; int *childs = new int[numV]; //初始化 for (int i = 0; i < numV; i++) { /* 初始时。每个顶点都是根。且无孩子 把每个顶点的的父节点设置为自身下标，也是标明类别 */ parent[i] = i; childs[i] = 0; } //对边按权值进行从小到大排序 qsort(edge, numE, sizeof(Edge), cmp); int i, count; i = count = 0; cout << "最小生成树的边..." << endl; while (i < numE) { if (Union(&edge[i], parent, childs)) { cout << edge[i].tail << "---" << edge[i].head << endl; count++; } if (count == numV - 1) //边数达到要求 break; i++; } if (count != numV - 1) cout << "此图为非连通图！
无法构成最小生成树。" << endl; delete[]edge; delete[]parent; delete[]childs; } //检測顶点数和边数 bool checkVE(int numV, int numE) { if (numV <= 0 || numE <= 0 || numE > numV*(numV - 1) / 2) return false; return true; } int main() { cout << "******Kruskal***by David***" << endl; cout << "输入顶点数、边数 "; cin >> numV >> numE; while (!checkVE(numV, numE)) { cout << "输入数据有问题！又一次输入 "; cin >> numV >> numE; } cout << endl << "Kruskal..." << endl; Kruskal(numV, numE); system("pause"); return 0; }
执行
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